在未签订正式劳动合同的情况下，被私人雇主解雇的员工仍可能获得相应补偿。关键在于员工能否提供充分证据证明实际存在的雇佣关系，以及当地劳动法规对这类事实劳动关系的保护力度。

维权途径建议：

1. 收集雇佣关系证明：工资转账记录、工作证、考勤记录等

2. 向当地劳动监察部门提交书面申诉

3. 必要时可申请劳动仲裁

4. 考虑通过法律途径维护权益

注意事项：

维权过程中需注意证据的完整性和时效性，建议在权益受损后及时采取行动。不同地区的具体规定可能存在差异，可咨询专业法律人士获取针对性建议。

劳动者在未签订劳动合同的情况下被用人单位辞退，其赔偿标准主要分为以下几种情形：

1. 协商解除劳动关系：若用人单位主动提出并与劳动者达成一致解除劳动关系，用人单位需按照劳动者在本单位的工作年限支付相应的经济补偿金。具体计算标准为每满一年支付一个月工资。

2. 违法解除劳动关系：若用人单位违反法律规定单方面解除劳动关系，则需按照经济补偿金标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

3. 劳动者过错解除：若因劳动者存在严重违反用人单位规章制度等法定解除情形而被辞退的，用人单位通常无需支付经济补偿金。

法律依据：上述规定主要参照《中华人民共和国劳动合同法》第四十六条、第四十七条、第八十七条等相关条款。需要特别说明的是，即便未签订书面劳动合同，只要存在事实劳动关系，劳动者仍可依法主张相关权益。

根据我国现行劳动法规，用人单位未与劳动者签订书面劳动合同的行为已构成违法用工。针对您描述的情况，这位工作五年的员工确实享有主张补偿的法定权利。

具体而言，依据《劳动合同法》相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍工资。若用工时间超过一年仍未签订合同，则视为双方已订立无固定期限劳动合同。在此情况下，员工有权要求用人单位补发自应签合同之日起至实际用工满一年期间的双倍工资差额。

关于经济补偿金的计算标准：员工可主张相当于五个月工资的经济补偿（按工作年限每年一个月工资计算）。若用人单位存在违法解除劳动关系的情形，员工还可要求双倍经济补偿金，即十个月工资的赔偿。

需要特别说明的是，主张上述权益需提供能够证明劳动关系的相关证据，如工资转账记录、考勤记录、工作证等材料。建议该员工尽快收集相关证据，通过劳动仲裁程序维护自身合法权益。

在未签订劳动合同的情况下被私人老板辞退，劳动者可以主张以下赔偿：

1. 协商解除情形：

若用人单位主动提出并与劳动者协商一致解除劳动关系，需按照劳动者在本单位的工作年限支付经济补偿金。每满一年支付一个月工资的标准，不足半年的按半个月计算，超过半年不足一年的按一个月计算。

2. 违法解除情形：

若用人单位违反法律规定单方面解除劳动关系，应当按经济补偿金标准的二倍支付赔偿金。

3. 过失性辞退情形：

若劳动者存在严重违反用人单位规章制度等法定可解除劳动合同的情形，用人单位无需支付经济补偿金。

关于离职经济补偿金的发放条件：

- 劳动者需证明存在事实劳动关系

- 需提供工资发放记录、考勤记录等证明材料

- 主张权利需在劳动关系终止之日起一年内提出

- 经济补偿金计算基数为解除劳动合同前12个月的平均工资

（注：具体赔偿标准可能因地区政策有所不同，建议咨询当地劳动仲裁部门）