根据法律规定，您丈夫和婆婆作为第一顺位继承人享有同等的继承权利。在拆迁协议上登记的是您丈夫和婆婆两个人的名字的情况下，办理房产证时无需您小姑子签字确认。因为该房产属于您丈夫和婆婆共同所有，与小姑子并无直接关联。

这套房产虽然登记在公公名下，但因为是婚后购置，在法律上属于夫妻共同财产。婆婆去世后，她所拥有的那一半产权份额，将按照法定继承顺序，由公公和他们的子女共同继承。也就是说，这套房产的所有权结构发生了变化，从原先由公公婆婆共同持有，转变为现在由公公和子女们共同拥有。

在这种情况下，公公确实有权处置房产，但必须获得所有继承人的一致同意才能进行。如果未经其他继承人同意擅自处理房产，在法律上是不被允许的。根据相关法律规定，继承人之间需要达成一致意见，才能对共有财产进行处分。

关于房屋拆迁补偿的问题，即使原户主过世后未及时注销户口，也不会影响您获得房屋拆迁补偿的权利。不过需要说明的是，部分针对户籍人口的专项补助，由于您未将户口迁入该房屋，可能无法享受这部分福利。

具体办理建议如下：

1. 准备必要材料：您的身份证、户口本、当地户籍证明以及原户主的死亡证明

2. 办理流程：携带上述材料前往当地房管部门办理房屋产权过户手续

3. 费用问题：若想节省相关费用，可以考虑...（此处可补充具体节省费用的建议）

需要注意的是，整个办理过程可能会涉及一些行政手续，建议提前咨询相关部门了解具体要求。

继承房产的办理流程如下：

首先，所有法定继承人需达成一致意见，共同推选出一位继承人，其余继承人自愿放弃继承权。随后，所有继承人需携带身份证、户口本、原房产证、拆迁协议及逝者的死亡证明等材料，前往公证处办理继承公证手续，领取公证书。

其次，被指定的继承人需持继承公证书、原房产证、拆迁协议及本人身份证等相关材料，前往当地房产管理部门办理产权变更登记。

需要注意的是，若该房产属于婚姻存续期间取得的财产，则您婆婆作为配偶已自动享有该房产的部分权益。

在处理房产继承事宜时，需要遵循以下法律程序：

1. 继承人确认

首先需要确定被继承人（您婆婆）的所有法定继承人范围，这包括：

- 配偶（如健在）

- 父母（如健在）

- 所有子女（包括婚生子女、非婚生子女、养子女和有扶养关系的继子女）

2. 放弃继承声明

需要所有法定继承人签署放弃继承的书面声明。这份声明应当：

- 明确表示自愿放弃继承权

- 在公证机关或有法律效力的机构办理

- 由每位继承人亲自到场签署

3. 办理继承公证

携带以下材料前往当地公证处办理继承权公证：

- 所有法定继承人的身份证明

- 被继承人的死亡证明

- 房产所有权证书

- 亲属关系证明

- 放弃继承声明书（如有继承人放弃）

公证处会对提交的材料进行审核，确认继承关系的合法性和真实性后，会出具继承权公证书。这份公证书是办理房产过户的重要法律文件。

4. 房产过户

取得继承权公证书后，可凭此文件到不动产登记中心办理房产过户手续，完成产权变更登记。

注意事项：

- 各地公证要求可能略有差异，建议提前咨询当地公证处

- 如涉及未成年人或限制民事行为能力人，需由其法定代理人代为办理

- 整个过程可能需要一定时间，建议提前规划