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根据我国现行劳动法律法规，用人单位与劳动者建立劳动关系后，应当在一个月内订立书面劳动合同。若用人单位未能在规定期限内履行签约义务，劳动者有权主张相应的权益补偿。

具体而言，当用人单位超过一个月未与劳动者签订劳动合同时，自用工之日起满一个月的次日起，劳动者即可主张双倍工资赔偿。这项权益主张的时效为一年，自劳动者知道或者应当知道权利被侵害之日起计算。

需要特别说明的是，双倍工资赔偿的计算基数应为劳动者实际获得的月工资。劳动者在主张此项权益时，应当注意收集和保存能够证明劳动关系的相关证据，如工资支付凭证、考勤记录、工作证等。

若劳动者选择主动解除劳动关系，除应得工资外，仍可依法主张未签订劳动合同期间的双倍工资差额。建议劳动者通过劳动仲裁等合法途径维护自身权益。

根据我国现行劳动法规，在劳动关系存续期间，用人单位若未与劳动者签订书面劳动合同，需承担相应的法律责任。具体而言：

1. 关于双倍工资赔偿：

自用工之日起超过一个月未满一年未订立书面劳动合同的，用人单位应当自用工的第二个月起支付双倍工资，最长支付期限为11个月。在您所述案例中，员工工作13个月后离职，其主张双倍工资赔偿具有法律依据。

2. 关于社保补缴与经济补偿：

若用人单位存在未依法缴纳社会保险费的情形，劳动者据此提出解除劳动关系的，用人单位除需补缴欠缴的社会保险费外，还应当支付经济补偿金。补偿标准按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资。

3. 关于员工自动离职的责任：

劳动者未提前通知用人单位而擅自离职，若确实给用人单位造成直接经济损失的，应当承担相应的赔偿责任。但用人单位需提供充分证据证明损失的具体数额及与员工离职行为之间的因果关系。

建议双方可通过协商方式解决争议，若协商不成，劳动者可向当地劳动人事争议仲裁委员会申请仲裁。用人单位在处理此类纠纷时，应当注意完善用工管理制度，避免因程序瑕疵导致法律风险。